Глава 306 Проблема снижения размерности нелинейных уравнений в частных производных
Хотя награда Чан Хаонаня дала школе гораздо больше возможностей для пиар-работы, Тан Линьтянь, естественно, не забудет то, что он обещал несколько дней назад.
В течение нескольких дней усилий внешняя сеть, подключенная к школе, уже могла получить доступ к нескольким наиболее распространенным академическим базам данных.
Около полугода назад, когда Чан Хаонан начал серьезно рассматривать возможность написания нового программного обеспечения для имитационного моделирования, он очень ясно осознал, что изучение мультифизики, особенно сильно связанных мультифизических задач, по сути является изучением нелинейных частных дифференциалов. Решение систем уравнений.
Но когда подобные вещи внедряются в инженерную сферу, зачастую это не так просто, как предложение.
Особенно если учесть, что скорость вычислений современных суперкомпьютеров не внушает оптимизма.
Для большинства частных дифференциальных уравнений нет возможности получить аналитические решения. По крайней мере, в течение короткого периода времени мы можем работать только над численными решениями.
Многие решения, которые выглядят очень эстетично с точки зрения математики, могут оказаться непрактичными.
Традиционно для понижения размерности динамических систем нелинейных уравнений в частных производных в основном используются методы, основанные на дискретизации переменных, как правило, такие как метод конечных элементов, метод конечных объемов и метод конечных разностей, которые можно назвать тремя мастерами в этой области.
Но других идей нет.
Например, Чан Хаонан случайно увидел эту статью, когда однажды ночью отдыхал в компьютерном зале.
Хотя статья относится к области прикладной математики, она была опубликована в, казалось бы, не имеющем отношения к теме журнале в области химической инженерии.
Химическая инженерияЖурнал
Журнал, который спустя десять лет станет знаменитым, но в то время это был всего лишь скромный журнал, который только что начал издаваться.
Причина, по которой его привлекло желание нажать на ссылку и загрузить ее со скоростью нескольких килобайт в секунду, заключалась в основном в том, что краткое содержание было очень привлекательным.
«Текущий широко используемый метод конечных разностей и метод конечных элементов могут получить только высокоразмерные системы обыкновенных дифференциальных уравнений для снижения размерности нелинейных динамических систем уравнений в частных производных. За последние сорок лет снижение системы на основе разделения переменных становилось все более и более сложным. Метод размерности быстро развивался. При определенных условиях он может избежать некоторых существенных проблем, вызванных методом пространственной дискретизации, и снизить тип нелинейной динамической системы уравнений в частных производных до более низкой размерности, что облегчает быстрый анализ, расчет и оптимизацию. А реализация активных контроллеров может быть применена для численного анализа общих проблем механических и тепловых связей в области химической инженерии...»
Хотя конкретные затронутые вопросы не имеют никакого отношения к конструкции самолета, упомянутая в нем механическая и тепловая связь изначально является самой базовой и самой неотложной проблемой, с которой в настоящее время сталкивается Чан Хаонан.
Этот отрывок просто затронул его сердце.
Он считал, что когда Лу Юйин впервые увидел его статью в Жунчэне несколько месяцев назад, чувство прозрачности в его сердце было не чем иным, как этим.
Несколько минут загрузки еще никогда не длились так долго.
Чан Хаонан посмотрел на индикатор выполнения на экране и нажал на документ почти сразу после завершения загрузки.
«Хорошо известно, что любая непрерывная функция может быть приближенно представлена путем разложения последовательности ряда Фурье. На основе вышеизложенных принципов переменные пространственно-временного сродства в нелинейных уравнениях в частных производных могут быть разложены в бесконечномерный пространственный базисный набор функций и его соответствующую форму суммы временных коэффициентов ряда:
ˆX(z,t)=(i=1,∞)∑φi(z)xi(t)
где xi(t) представляет собой временной коэффициент, соответствующий каждой базисной функции φi(z)..."
Это действительно просто.
Технология разделения переменных пространства и времени не является чем-то новым. Ее можно найти в любом методе математической физики или аналогичном учебнике. Однако обычно считается, что уравнения в частных производных, подходящие для использования метода разделения переменных, должны иметь определенные формы и характеристики, такие как линейные и однородные, разделимые, коэффициенты зависят только от одной переменной и т. д., что существенно ограничивает применение таких методов.
Поэтому Чан Хаонан быстро пропустил эту часть и перешел сразу к третьему разделу, который часто является первым разделом текста:
Для того чтобы подробно и наглядно объяснить метод понижения размерности динамических систем нелинейных уравнений в частных производных, в данном разделе в качестве объекта объяснения используется параболическая нелинейная система уравнений в частных производных...
"приходящий!"
Его настроение поднялось, когда он увидел интересующий его контент, и даже легкая сонливость, которую он только что испытывал, мгновенно исчезла.
Граничные условия и начальные условия:
где x(z, t) представляет собой переменную состояния пространства-времени, и является непрерывной функцией на бесконечномерном гильбертовом пространстве, определенном в области пространства [a, b]. Представляет пространственные координаты, z∈[a, b] представляет пространственные координаты, которые являются подпространством в области действительных чисел, определенной процессом, t∈[0,∞) представляет собой переменную времени…
Наконец, можно получить форму выражения вышеуказанной нелинейной системы уравнений в частных производных в гильбертовом пространстве H([a, b]):
x(z,t)/t=Ax(z,t)+Bu(z,t)+(x,z,t)
х(z，0)=x0(z)
Ниже приведены два примера моделирования, а именно безразмерное уравнение Курамото-Сивашинского в одномерном пространстве и поле температуры и давления неизотермического трубчатого реактора...
«Ну... что-то есть...» Чан Хаонан увидел оборотную сторону и понимающе кивнул.
"В общем."
Он достал листок бумаги из принтера, стоявшего рядом с ним, и начал подводить итоги про себя:
«Во-первых, выберите подходящую ортогональную базисную функцию пространства и используйте технологию разделения пространства и времени для разделения переменных пространства и времени динамической системы нелинейных уравнений в частных производных, то есть разложите переменные сродства пространства и времени системы по выбранной или полученной ортогональной базисной функции пространства, подставьте разложение в исходную систему и объедините его с нелинейным методом Галеркина...»
Пока он писал и рисовал, час пролетел незаметно.
Хотя объектом, использованным для иллюстрации теории в статье, является всего лишь очень простая параболическая система, два приведенных ниже примера ее применения действительно весьма хороши и достойны похвалы автора в аннотации.
Эта статья даже достойна отправки в журнал с более высоким импакт-фактором. Причина, по которой она здесь появляется, скорее всего, в том, что автор и главный редактор из одной школы и получили приглашение отправить рукопись.
На самом деле, в конце краткого изложения Чан Хаонань также обнаружил части, которые сам автор не написал.
Метод, описанный в статье, можно применять не только для расчета теплопередачи и полей течения, но и, с небольшими изменениями, использовать для решения задач массопереноса и самого процесса химических реакций.
Другими словами, могут быть включены все характеристики, задействованные в процессе химического производства.
Конечно, тот факт, что это не было записано, не может означать, что автор этого не обнаружил. Возможно, он что-то сохранял для подготовки другой статьи...
«Но... проблемы все еще есть».
Чан Хаонань посмотрел на три листа бумаги, лежащие перед ним, которые уже были исписаны.
Хотя его можно применять в самых разных областях, это не означает, что метод, упомянутый в этой статье, является универсальным и может быть напрямую перенесен в ту сферу, которая нужна Чан Хаонану.
«Использование собственных функций в качестве пространственных базисных функций в сочетании с методом взвешенной невязки для уменьшения размерности нелинейной динамической системы уравнений в частных производных позволяет получить конечномерную динамическую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для аппроксимации бесконечномерной динамики исходной системы, но по существу линейные методы все еще используются. Аппроксимации все еще недостаточно для реальных сильно нелинейных задач. Однако, если в процессе уменьшения размерности используются другие пространственные базисные функции, такие как функции последовательности Фурье и ортогональные базисные функции, она может быть динамически связана с нелинейными уравнениями в частных производных. Характеристики самой системы не имеют значения…»
Думая об этом, он повернул голову и взглянул на соседнюю комнату, где находился суперкомпьютер.
Конечно, в теории нет никаких проблем, но если мы действительно начнем считать...
Поскольку вычислительный центр, за который я отвечаю, только что открылся, в настоящее время его используют не так много проектов. Однако нагрузка на этот суперкомпьютер была снижена до очень высокого уровня.
Если мы оставим это на десять лет позже, то, возможно, будет не невозможно рассчитать его в соответствии с идеями, изложенными в статье, но при нынешнем уровне отечественных суперкомпьютеров, боюсь, что потребуется несколько лет, чтобы рассчитать уровень силовой-тепловой-электрической связи фазированной антенной решетки радара...
Когда у меня будет время, я создам тестовую версию.
Это точно не сработает.
«Что, если мы используем метод сбалансированного усечения или метод оптимизации...»
Кончик пера в руке Чан Хаонаня снова начал скользить по бумаге.
Вскоре четвертая и пятая страницы черновика также были заполнены текстом.
В компьютерном зале послышался скрип оборудования.
Луна за окном поднялась от горизонта до середины неба, затем постепенно зашла и, наконец, уступила место восходящему солнцу.
"Я понимаю."
(Конец этой главы)
